مثلث:
حالت های تساوی دو مثلث: دو مثلث در حالت های زیر با هم برابرند :
حالت اول: دو ضلع و زاویه بین آن ها از یک مثلث با دو ضلع و زاویه بین آنها از مثلث دیگر نظیر نظیر مساوی باشند
حالت دوم:دو زاویه و ضلع بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلث دیگر نظیر نظیر مساوی باشند .
حالت سوم: سه ضلع از یک مثلث با سه ضلع متناظر از مثلث دیگر مساوی باشند
علاوه بر سه حالت تساوی مثلث ها که در سال اول راهنمایی گفته شده است ، می توان تساوی دو مثلث قائم الزاویه را در دو حالت دیگر نیز بررسی کرد .
1- وتر و یک زاویه تند (حاده):
اگر وتر یک زاویه تند (حاده) از مثلث قائم الزاویه ای با وتر یک زاویه ی تند (حاده) از مثلث قائم الزاویه دیگری مساوی باشند ، آن دو مثلث مساوی اند .
دو مثلث قائم الزاویه یABC و´A´B´C را با توجه به اینکه می باشد را در نظر بگیرید .
از راه انطباق می توان مساوی بودن این دو مثلث را بررسی کرد .
اگر مثلث´A´B´C را طوری رویABC قرار دهیم که زاویه ی ´B بر زاویه ی B و وتر ´B´C بر وتر BC منطبق شود، مشاهده می کنیم که دو مثلث بر هم منطبق می شوند .
2- وتر و یک ضلع:
اگر وتر و یک ضلع مثلث قائم الزاویه ای با وتر و یک ضلع مثلث قائم الزاویه دیگری مساوی باشند ، آن دو مثلث قائم الزاویه با هم مساویند .
دو مثلث قائم الزاویه ی ABC و´A´B´C را با توجه به اینکه می باشد را در نظر بگیرید:
با توجه به اینکه نقطه C روی عمود CA قرار دارد و از دو سر پاره خط ´BB به یک فاصله است . می توان گفتC یک نقطه از عمود منصف پاره خط ´BB است بنابراین CA عمود منصف پاره خط ´BB می باشد و می توان نوشت:
´BA = AB
می دانیم : اگر دو مثلث دارای سه ضلع مساوی باشند با هم مساویند به این ترتیب می توان نوشت :
مجموع زاویه های هر مثلث 180 درجه است .
زاویه ی خارجی مثلث :
اگر یکی از ضلع های مثلثی را امتداد دهیم ، امتداد این ضلع با ضلع دیگر مثلث زاویه ای را تشکیل می دهد که آن را زاویه خارجی مثلث می نامیم.
مثالÅدر شکل مقابل BÂX یک زاویه ی خارجی از مثلث ABC است
به طورکلی : در هر مثلث یک زاویه ی خارجی با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن مساوی است .
زاویه های مجاور :
مجاور به معنی همسایه است و در هندسه دو زاویه مجاور گویند هر گاه در همسایگی هم یک ضلع مشترک داشته باشند همچنین دو زاویه را غیرمجاور نامیم هر گاه مجاور هم نباشند .
A1و A2 مجاور یکدیگرند.
A1با B و C غیر مجاور هستند.
1- در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه ی 30 درجه اندازه وتر است
مثالÅ در شکل زیر اندازه ضلع AB را بدست آورید .
2- در مثلث قائم الزاویه میانه وارد بر وتر نصف وتر است.
3-در مثلث قائم الزاویه اگر یک زاویه آن 15 درجه باشد ، ارتفاع وارد بر وتراست .
4- در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 45 در جه اندازه وتر است .
5-در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 60درجه اندازه وتر است .
6-در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ارتفاع وارد بر وتر نصف وتر است
7-در مثلث قائم الزاویه مربع ارتفاع وارد بر وتر برابر است با حاصل ضرب دو قطعه ایجاد شده روی وتر .
مثالÅبا توجه به شکل مقابل اندازه ارتفاع AH را بدست آورید .
حل:
8- مساحت هر مثلث با داشتن اندازه ی سه ضلع از دستور بدست می آید
(a, b, c اضلاع مثلث و P نصف محیط مثلث می باشد)
مثال Å مساحت مثلث ABC را بدست آورید.